Ma trận (Matrix), Định thức (Determinant), ma trận liên hợp (Adjugate Matrix)

- Ma trận (matrix) có thể được hiểu đơn giản là một tập hợp các số được sắp xếp trong một bảng (table), hay lưới (grid). Chính từ khái niệ...

- Ma trận (matrix) có thể được hiểu đơn giản là một tập hợp các số được sắp xếp trong một bảng (table), hay lưới (grid). Chính từ khái niệm này mà ma trận sẽ có m dòng và n cột. Ma trận thường được kí hiệu bằng một chử cái in hoa, có thể kèm theo với số hàng và số cột được ghi nhỏ kế bên như sau:

Hình trên ma trận A có m dòng và n cột, bao gồm các phần tử như a11 là phần tử tại vị trị dòng 1 cột 1, a12 là phần tử tại vị trị dòng 1 cột 2 ... cứ thế cho tới amn.

- Một vài thuật ngữ (Terminology) quen thuộc của ma trận:

Ma trận có m dòng và n cột thì được gọi là ma trận bậc m x n (matrix of order m x n).
Ma trận vuông (square matrix) là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau (m = n). Trong tình huống này chúng được gọi tắt là ma trận bậc n.
Đường chéo chính (main diagonal) của ma trận vuông là tập hợp các phần tử nằm trên cùng một đường thằng từ góc cao bên trái tới góc thấp bên phải của ma trận. Trong hình trên đó là các phần tử a11, a22, a33, ...., amn với m = n.
Ma trận đơn vị (identity matrix hay unit matrix) là ma trận vuông mà các phần tử nằm trên đường chéo chính đều có giá trị là 1 còn các phần tử khác có giá trị là 0 như hình dưới.

một tính chất quan trọng và có tính ứng dụng rộng của ma trận đơn vị thể hiện trong phép nhân với một ma trận Amxn như sau:
Một ma trận hàng là ma trận chỉ có 1 hàng, ma trận cột là ma trận chỉ có 1 cột, và trong tình huống này chúng còn được coi là một vector.
Ma trận tam giác trên (upper triangular matrix) và ma trận tam giác dưới (lower triangular matrix) là ma trận mà các phần tử thuộc một nữa ma trận nằm dưới hoặc trên của đường chéo chính đều có giá trị 0.
Ma trận đơn (singular matrix) là ma trận vuông mà không có ma trận nghịch đảo hay có giá trị định thức bằng 0.

- Định thức (Determinant) là giá trị số thực có thể được tính ra từ mỗi ma trận vuông. Định thức của một ma trận vuông A được kí hiệu là det A hay |A|. Dưới đây là một ví dụ minh họa cho các kí hiệu này:

- Các tính chất định thức:

Là một con số thực chứ không phải là một ma trận.
Có thể là số âm.
Không liên quan gì tới giá trị tuyệt đối dù kí hiệu có vẻ giống giống.
Định thức chỉ tồn tại khi ma trận là vuông. Định thức của ma trận 1x1 chính là giá trị phần tử duy nhất của ma trận đó.
Ma trận nghịch đảo của một ma trận chỉ tồn tại khi định thức của ma trận đó khác 0.
Định thức của một ma trận bằng với định thức của transpose của ma trận đó
Nếu ta hoán chuyển 2 dòng hoặc 2 cột nào đó của ma trận ta sẽ được ma trận mới có định thức trái dấu với định thức ban đầu.
Nếu ta thay đổi giá trị của 1 hàng hay cột trong ma trận bằng cách cộng hay trừ các phần tử với những phần tử tương ứng trong hàng hay cột khác thì định thức vẫn không thay đổi.
Nếu có 1 hàng hay cột nào đó trong ma trận mà các phần tử có cùng hệ số nhân alpha thì giá trị định thức sẽ bằng định thức của ma trận với alpha = 1 nhân với alpha.
Nếu trong ma trận có tồn tại một hàng hay cột có thể được tạo ra bằng sự kết hợp tuyến tính các hàng hoặc cột khác thì định thức của ma trận đó luôn bằng 0.

Cột 1 = Cột 2 + Cột 3 hay Hàng 1 = 7/8 Hàng 2 + 4/5 Hàng 3
Định thức của ma trận tam giác bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Định thức của tích 2 ma trận vuông là tích của định thức từng ma trận riêng lẻ.

- Phương pháp tính định thức:

Tính định thức của ma trận 2x2:
Tính định thức của ma trận m x n bằng cách sử dụng định thức con (minors) và các hệ số kép (cofactors)
+ Định thức con (Minor):
Ứng với mỗi phần tử trong ma trận, ta có một định thức con (Minor), là định thức của ma trận được tao ra từ ma trận ban đầu sau khi đã gạch bỏ hàng và cột chứa phần tử đó. Hình dưới đây minh họa cho cách tính Minor ứng với một phần tử trong ma trận:

+ Hệ số kép (Cofactor):
Ứng với mỗi phần tử trong ma trận, ta có một hệ số kép (Cofactor), là định thức con hay phủ định của giá trị định thức con tương ứng của phần tử đó. Nếu vị trí hàng và cột của phần tử có tổng chẳn thì nó có Cofactor = Minor, ngược lại nó có Cofactor = - (Minor). Như vậy với hình minh họa trên, Cofactor ứng với phần tử a11 sẽ bằng Minor ứng với a11 vì phần tử này nằm ở dòng 1, cột 1 và tổng dòng + cột = 2 là số chẳn.
+ Cách tính định thức dựa vào Cofactor:
.: Chọn bất kì dòng hay cột nào của ma trận cần tính định thức.

.: Nhân từng phần tử thuộc dòng hay cột vừa chọn với Cofactor ứng với phần tử đó rồi cộng tất cả lại, kết quả chính là định thức cần tìm.
+ Những lưu ý nhằm tăng tốc tính toán:
.: Hãy chọn dòng hay cột có nhiều giá trị 0 nhất để tính định thức. Lý do là vì với các phần tử = 0 ta không cần tính Cofactor tương ứng của nó do bất chấp giá trị Cofactor thì tích của phần tử với Cofactor luôn bằng 0.
.: Hãy chọn dòng hay cột có nhiều giá trị lớn nhất để tính định thức. Lý do là Cofactor ứng với mỗi phần tử được tính không thông qua bản thân giá trị phần tử đó và các phần tử thuộc cùng dòng hay cột với phần tử đó. Vì vậy mà quá trình tính Cofactor sẽ đơn giản hơn do các phần tử kia có giá trị nhỏ hơn.
.: Trước khi bắt tay tính định thức, ta nên chú ý để tối giản ma trận, hoặc phân tích ma trận, rồi áp dụng các tính chất của định thức ở trên giúp tăng tốc đáng kể quá trình tính toán.
Ví dụ:

Trong ví dụ trên ta chọn tính định thức theo hàng 1. Phương pháp tính vừa trình bày có thể được áp dụng cho ma trận n x n. Ví dụ với ma trận 4 x 4, ta sẽ có các Cofactor là định thức của ma trận 3 x 3, ta tính các Cofactor này thông qua các Cofactor của các ma trận 2 x 2. Quá trình chọn dòng, cột, tính toán tương tự.

- Ma trận liên hợp (Adjugate matrix): là ma trận được tính bằng cách thay mỗi phần tử của ma trận ban đầu bằng giá trị Cofactor ứng với phần tử đó. Ví dụ: